L’Attracteur Etrange de Lorenz

E.N. Lorenz, météorologue dans les années 60, étudiait le phénomène de convection d’un fluide chauffé en bas et refroidi en haut. Il simplifie grandement l’équation de Navier-Stokes et aboutit à un système d’équations différentielles qui, même si elles n’ont plus vraiment de lien concret avec le réel, témoignent d’une propriété contre-intuitive à l’époque: l’imprévisibilité des solutions d’un système dont les paramètres sont tous connus au départ. Et à cela s’ajoutant la forme des solutions de ce système dans l’espace des phases, forme en forme d’ailes de papillons, ainsi naît l’intérêt de l’étude du chaos dans les systèmes dynamiques.

Ce travail est une exploration du système et de ses propriétés, et l’explication de son “chaos” exprimé par les ailes de papillon, formellement appelées “Attracteur de Lorenz”.

Modélisation Mathématique

Le système de Lorenz est un système d’équations différentielles de 3 équations :

avec les variables:

• x l’intensité du mouvement de convection

• y la différence de température horizontale entre les courants ascendants et descendants

• z l’écart de la température verticale

et les paramètres:

• σ le nombre de Prandtl

• ρ le nombre de Rayleigh normalisé

• β le facteur géométrique de la cellule de convection

avec tous les paramètres positifs non nuls et σ > β + 1.

Propriétés du système

Ce système a quelques propriétés uniques qui font de lui un sujet d’étude assez intéressant, et on peut facilement les mettre en évidence en représentant en 3D quelques solutions du système. Il s’agit notamment de la forme d’ailes de papillons, autrement dit “l’Attracteur” et la sensibilité aux conditions initiales.

Les ailes de papillon

On remarque que pour des valeurs assez grande des paramètres, on obtient invariablement une représentation ressemblant à des ailes de papillon, ou deux points autours desquels gravitent des cercles concentriques qui ne semblent jamais vouloir se toucher. Il s’agit en réalité de deux points d’équilibre du systèmes au niveau desquels on observe une grande instabilité (nous en parlerons par la suite).

La sensibilité aux conditions initiales

L’une des propriétés de ce système est qu’il est très sensible aux conditions initiales. De façon assez simple, on pourrait penser que pour un tel système les solutions devraient être assez proches pour des conditions initiales proches. Mais ici, elles sont extrêmement différentes.

Comparaisons des x(t) pour P1 = (0, 1, 1.05) et P0 = (0, 1.001, 1.05) par exemple. Donc un simple variation de z de 0.001, et voici les conséquences sur les variations de x(t).

Equilibre et Stabilité

Equilibre

On cherche ici les endroits où le système atteint un équilibre, qu’on définit en annulant les dérivées premières par rapport à chaque axe. On trouve ainsi trois points d’équilibre particuliers:

• l’origine O(0,0,0)

• les points C+ et C- :

  

Les points C+ et C- n’existent que pour $\rho \ge 1$. C’est à dire que pour une valeur de ce paramètre inférieure à 1, il n’existe qu’un seul point d’équilibre, le point O.

Stabilité

En passant par la matrice Jacobienne du système, l’étude de la stabilité autour des points d’équilibre révèle que le point O a une stabilité dépendante de la valeur du paramètre ρ. Le point est stable si:

• stable si ρ≤1

• instable sinon

En couplant avec l’existence des points C+ et C-, on peut donc dire que le système est stable tant que ces deux points n’existent pas. Ce sont les points “potentiellement instables” du système.

Par rapport aux points C+ et C-, on considère déjà ρ > 1, condition nécessaire à leur existence. La stabilité du système en ces points est définie par la valeur critique ρh:

Si donc:

• 1 < ρ ≤ ρh, le système est stable en ces points

• ρ > ρh, le système est instable

Cette valeur critique est encore appelée bifurcation de Hopf.

Caractérisation de l’Attracteur de Lorenz

Dans l’espace des phases, les solutions ne divergent pas à l’infini, et semblent confinées dans un ensemble donné. Le calcul de la divergence nous montre que le système est dissipatif en général. Au fil du temps, les solutions vont donc se retrouver “piégées” dans un ensemble dans l’espace qu’on appellera “Attracteur”.

La région de piégeage

C’est la zone de l’espace qui contient toutes les solutions du système.

On définit alors la fonction candidate de Lyapunov suivante:

L’annulation de la dérivée de cette fonction nous permet de définir la famille d’ellipsoïdes E définie par l’équation :

Et lorsque nous sommes à l’extérieur de E, le système est dissipatif, et inversement lorsque nous sommes à l’extérieur. Autrement dit, lorsque nous sortons de cette ellipsoïde, le système devient dissipatif, ce qui “attire” les solutions à l’intérieur, où il peut continuer de varier indéfiniment. C’est la caractérisation même de l’attracteur.

Conclusion

Cette étude démontre que le système de Lorenz transite vers le chaos via des bifurcations successives liées au paramètre ρ. Bien que le régime devienne hypersensible aux conditions initiales au-delà du seuil de Hopf ρh, nous avons prouvé que les trajectoires ne divergent pas. Grâce à la contraction des volumes et à une zone de piégeage, le système reste confiné dans un attracteur étrange, révélant une structure déterministe au cœur du chaos.

La simulation du système a été faite en python. Vous pouvez accéder ici au dépôt github contenant les codes et le document pdf qui détaille les démonstrations faites ici.