Comprendre les embouteillages grâce à la modélisation mathématique

Introduction

Le trafic routier est au cœur de notre quotidien, en particulier dans les grandes villes. Pourtant, même lorsque les routes sont en bon état, il arrive fréquemment que la circulation se bloque soudainement, sans cause apparente. Ces embouteillages provoquent pertes de temps, stress et pollution.

Et tenez-vous bien : le trafic routier a également un impact majeur sur l’économie d’un pays. Pourquoi ? Tout simplement parce que sans voies de circulation, il n’y a pas de déplacement des personnes et des biens… et donc pas d’activité économique.

Face à ce constat, une question naturelle se pose :

Les embouteillages sont-ils uniquement dus à des facteurs extérieurs (accidents, travaux, feux), ou peuvent-ils émerger naturellement du trafic lui-même ?

L’objectif de ce travail est de montrer comment un modèle mathématique relativement simple permet d’expliquer :

• l’écoulement fluide du trafic,

• l’apparition de la congestion,

• la propagation des embouteillages.

Formulation mathématique du trafic routier

Il existe deux grandes manières de modéliser mathématiquement le trafic routier : les modèles microscopiques et les modèles macroscopiques.

Modèles microscopiques

Les modèles microscopiques décrivent le trafic à l’échelle individuelle. Chaque véhicule est représenté séparément, avec des lois de comportement (distance de sécurité, accélération, freinage, changement de voie, etc.).

Ces modèles sont très précis, mais aussi très coûteux en calcul, car il faudrait presque modéliser mathématiquement le comportement humain du conducteur… et vous imaginez bien la complexité.

Modèles macroscopiques

Les modèles macroscopiques, quant à eux, considèrent le trafic comme un flux continu, à la manière d’un fluide. On ne suit plus chaque véhicule individuellement, mais on s’intéresse à des grandeurs globales comme :

• la densité de véhicules,

• la vitesse moyenne,

• le débit du trafic.

C’est cette approche que nous avons choisie, car elle permet de comprendre les mécanismes globaux de congestion avec des outils mathématiques simples et puissants. Nous utilisons pour cela le modèle Lighthill–Whitham–Richards (LWR), un modèle macroscopique de référence.

Son idée centrale est très intuitive :

Les véhicules se conservent, ils ne disparaissent pas entre deux points de la route.

Mathématiquement, cela se traduit par une équation de conservation de la densité :

À ce stade, le modèle est incomplet (ou sous-déterminé) : on ne peut pas encore le résoudre. Il faut donc le fermer, c’est-à-dire introduire une relation entre le débit et la densité.

Nous utilisons pour cela la relation de Greenshields, qui suppose que la vitesse diminue linéairement lorsque la densité augmente :

Le débit s’écrit alors :

Cette relation définit le diagramme fondamental du trafic, qui joue un rôle clé dans l’analyse de la congestion.

Le modèle complet s’écrit donc :

avec

où vmax désigne la vitesse maximale autorisée et ρmax la densité maximale, c’est-à-dire le nombre maximal de véhicules que peut supporter la route sur une longueur donnée.

Résolution numérique de l’équation

C’est sans doute ici que certains s’attendent à voir le mathématicien sortir son stylo, transpirer un peu, puis résoudre l’équation à la main. Eh bien non… désolé de vous décevoir.

Nous choisissons de résoudre cette équation numériquement, en utilisant la méthode des volumes finis, et plus précisément le schéma de Godunov.

Le schéma numérique s’écrit :

où Fn(i,i+1) représente le flux de véhicules entre les cellules i et i+1 à l’instant t^n.

L’idée clé du schéma de Godunov (aussi appelé Cell Transmission Model) est de calculer le flux à partir de l’état du trafic en amont et en aval, via les notions de demande et d’offre.

La demande D(ρi) représente ce que la cellule i peut envoyer :

L’offre S(ρi+1) représente ce que la cellule i+1 peut recevoir :

Le flux réel est alors donné par :

Diagramme fondamental et naissance de la congestion

Le diagramme débit--densité permet de comprendre un point fondamental :

• à faible densité, ajouter des véhicules augmente le débit ;

• au-delà d'une densité critique, le débit diminue ;

• à forte densité, le trafic finit par s'arrêter.

La congestion apparaît donc lorsque la densité dépasse un seuil critique.

Lorsqu'une variation brutale de densité se produit (freinage, afflux de véhicules, rétrécissement de voie), une onde de choc se forme. Cette onde se propage souvent en sens inverse de la circulation, donnant l'impression que le bouchon remonte la route.

Le modèle LWR montre ainsi qu'un embouteillage n'est pas simplement un arrêt de voitures, mais une  onde cinématique qui se déplace dans le trafic.

Simulation numérique

Assez parlé. Voyons maintenant ce que donne la simulation numérique du modèle (voir la vidéo associée tout en bas). 

Description de la vidéo

Observons maintenant la courbe débit–densité affichée en haut à droite de la vidéo.

On remarque que lorsque la densité de véhicules augmente, le débit du trafic augmente également tant que la densité reste inférieure à une valeur critique, notée 𝜌<𝜌𝑐​. Dans cette zone, la circulation est fluide : les véhicules roulent sans se gêner, et l’augmentation du nombre de véhicules améliore l’efficacité globale du trafic.

En revanche, dès que la densité dépasse cette valeur critique 𝜌<𝜌𝑐, le comportement du trafic change radicalement. Bien que la densité continue d’augmenter, le débit commence à diminuer. Cette décroissance traduit l’apparition de la congestion : les véhicules se gênent mutuellement, la vitesse moyenne baisse, et la circulation devient dense et instable.

Ainsi, la partie croissante de la courbe correspond à un régime de trafic fluide, tandis que la partie décroissante représente un régime congestionné. Le diagramme fondamental permet donc de visualiser clairement la transition entre une circulation efficace et la formation des embouteillages.

Exemple illustratif

Supposons une voie à sens unique composée de trois allées. On suppose que lorsque trois véhicules sont simultanément présents sur la voie, celle-ci atteint sa capacité maximale, c’est-à-dire son état de saturation.

Lorsqu’un seul véhicule circule sur la voie, la circulation est totalement fluide et il n’y a aucune congestion, mais le débit reste faible car peu de véhicules passent.

Lorsqu’un deuxième véhicule entre sur la voie, la circulation reste fluide. Les véhicules ne se gênent pas encore, et le débit augmente puisque davantage de véhicules circulent efficacement.

En revanche, dès que l’on dépasse trois véhicules, la voie devient saturée. Les véhicules commencent à se gêner mutuellement, la vitesse moyenne diminue et une congestion apparaît. Dans ce régime, bien que la densité continue d’augmenter, le débit commence à décroître.

Cet exemple simple illustre bien l’existence d’une densité critique au-delà de laquelle l’augmentation du nombre de véhicules dégrade les performances du trafic au lieu de les améliorer.

Comment limiter la congestion ?

Le modèle LWR ne donne pas directement une solution miracle, mais il permet d'analyser l'effet de différentes stratégies.

Feux tricolores

On pense souvent que les feux servent uniquement à la sécurité. En réalité, lorsqu'ils sont synchronisés et adaptatifs, ils permettent de réguler le flux, d'éviter les pics de densité et de maintenir le trafic sous la densité critique. 

Limitations de vitesse

De manière contre-intuitive, réduire la vitesse maximale peut augmenter le débit global. Cela stabilise le trafic, augmente les espacements et empêche la formation d'ondes de choc. Les limitations de vitesse dynamiques en sont un bon exemple.

Réduction de la densité

La congestion dépend directement du nombre de véhicules présents simultanément. Cela justifie mathématiquement :   

• le covoiturage,

• les transports publics,

• les voies dédiées.

Augmenter la capacité des routes

Construire de nouvelles routes peut sembler être une solution évidente. Cependant, cela doit être fait de manière réfléchie, en tenant compte de la densité de circulation propre à chaque région.